Ciência

A beleza dos sólidos geométricos: uma introdução

A beleza dos sólidos geométricos: uma introdução

Se você já visitou o Walt Disney World na Flórida, sem dúvida viu a cúpula geodésica chamada Spaceship Earth no Epcot. Recebeu o nome de um dos termos que ficou famoso pelo arquiteto americano Buckminster Fuller; um termo que expressa sua visão do mundo e seus recursos.

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Foi Fuller quem popularizou a cúpula geodésica como uma característica arquitetônica. A forma é baseada em poliedros geodésicos, que são uma classe de sólidos geométricos. Os poliedros geodésicos são poliedros convexos constituídos por triângulos. Geralmente apresentam simetria icosaédrica, sendo formadas por 20 faces triangulares equiláteras dispostas ao redor da superfície de uma esfera.

Outra forma famosa em homenagem a Fuller é a molécula de carbono (C60) buckminsterfullerene, que tem a forma de um Icosaedro truncado que se assemelha a uma bola de futebol. É feito de 20 hexágonos (a 6 lados polígono) e 12 pentágonos (a 5 lados polígono).

Três cientistas, Harold Kroto, Robert Curl e Richard Smalley, receberam o Prêmio de Romance de Química de 1996 por sua descoberta da classe dos fulerenos, que inclui o buckminsterfullereno.

Os sólidos geométricos podem ser divididos em duas classes: Poliedro e Não poliedros. Poliedros têm plano rostos, ou lados, e os exemplos incluem cubos e pirâmides. Os não poliedros não têm faces planas e os exemplos incluem esfera, cilindro, toro e cone. Vamos examinar primeiro o não poliedro.

Esfera

Como sua contraparte 2D, o círculo, uma esfera é definida como o conjunto de pontos, no espaço tridimensional, que estão à mesma distância r a partir de um determinado ponto (o centro), onde r é o raio da esfera. o diâmetro de uma esfera tem o dobro do comprimento de seu raio.

o volume de um sólido geométrico é a quantidade de espaço contida dentro da figura, enquanto o área de superfície de um sólido geométrico é a extensão do exterior da figura, ou pele.

De todos os sólidos geométricos, uma esfera tem a menor área de superfície para um determinado volume. A natureza aproveita essa propriedade na formação de gotas e bolhas de água.

O volume de uma esfera é determinado pela fórmula:
V = 4 / 3πr3
Onde r é o raio da esfera, e π é aproximadamente 3.14159.

A área da superfície de uma esfera é calculada pela fórmula:
A = 4Πr2

Por exemplo, o raio da Terra é 3.959 milhas (6.378 km), para que possamos calcular a área da superfície da Terra como:
A = 4 * Π * 3.9592 = 196.961.118 milhas quadradas.

Desde a 71% da superfície da Terra é o oceano, o que nos deixa com 57.118.725 milhas quadradas para viver.

Na realidade, a Terra não é uma esfera, mas um esferóide, ou seja, é ligeiramente achatado nos pólos. O raio polar da Terra é 3.950 milhas (6.357 km), enquanto seu raio equatorial é 3.963 milhas (6.378 km).

A Terra é um esferóide achatado, enquanto o familiar futebol americano é um esferóide prolato. Metade de uma esfera é chamada de hemisfério, e na Terra, do pólo norte ao equador é o hemisfério norte, e do equador ao pólo sul é o hemisfério sul.

Toro

Para descrever um toro, pense na forma de um donut ou tubo interno. Um toro é definido por dois raios: r, que é o raio de um pequeno círculo que é girado ao longo de uma linha feita por um círculo maior que tem raio R.

Para encontrar o volume de um toro, temos que levar em consideração os dois raios:
V = (2ΠR) * (Πr2), que pode ser escrito como:
V = 2 * Π2 * R * r2

Para um toro tendo r = 3 polegadas e R = 7 polegadas
V = 2 * Π2 * 7 * 32
V ≈ 1.244 polegadas cúbicas

A área de superfície de um toro é determinada pela fórmula:
A = (2ΠR) * (2Πr), que pode ser escrito como:
A = 4 * Π2 * R * r
Se usarmos as mesmas dimensões que usamos para o volume, obtemos:
A = 4 * Π2 * 7 * 3
A ≈ 829 polegadas quadradas

Cilindro

Os cilindros são familiares para nós a partir de produtos enlatados, que vêm em cilindros. Os cilindros vêm em dois tipos gerais: Direito e Oblíquo. Se as duas extremidades de um cilindro estiverem alinhadas uma com a outra, é considerado um Cilindro Direito, caso contrário, é um Cilindro Oblíquo.

O volume de um cilindro é determinado pela área de sua base vezes sua altura:
V = Π * r2 * h
Então, para uma lata de feijão cozido que tem um raio de 1,5 polegadas e uma altura de 4,5 polegadas, seu volume é:
V = 3,14159 * 2,25 pol² * 4,5 pol.
V 31,8 polegadas cúbicas
.

A área de superfície de um cilindro é a soma da área de superfície de ambas as suas extremidades, que é:
2 * π * r2
mais a área de superfície das laterais, que é:
2 * π * r * h
Portanto, a área de superfície total de um cilindro é:
A = 2 * Π * r * (r + h)
Para nossa lata de feijão cozido:
A = 2 * Π * 1,5 * 6
UMA 56,5 polegadas quadradas
.

Cone

Um cone é um sólido geométrico que tem um círculo em uma extremidade, chamado de base, e um ponto na outra extremidade, chamado de ápice. Tal como acontece com os cilindros, quando o ápice está alinhado com o centro da base, o cone é chamado de Cone Direito, caso contrário, é chamado de Cone Oblíquo.

O volume de um cone é determinado pelo raio de sua base e a altura de seu ápice:
V = 1/3 Π * r2 * h
Um sorvete de casquinha tipo waffle médio tem um raio de 2 polegadas e uma altura de 7 polegadas. Para descobrir o volume de sorvete que ele pode conter:
V = 1/3 * 3,14159 * 4 sq pol * 7 pol
V 29,32 polegadas cúbicas
.

A área da superfície de um cone é determinada pela adição da área da base, que é:
π * r2
e a área das laterais do cone, que é:
π * r * s
Onde s é o comprimento inclinado, que é a distância da base ao ápice medida ao longo da lateral do objeto.
Portanto, a área de superfície de um cone é:
A = π * r * (r + s)
Para um cone tendo r = 2 e h = 7, a área de superfície da base seria:
A = 3,14159 * 4
A ≈ 12,57

A área da superfície lateral é:
A = π * 2 * √ (22 + 72)
A = π * 2 * √(4 + 49)
A = 2π√ (53)
A ≈ 45,74
A = 12,57 + 45,74 58,31 polegadas quadradas
.

Se compararmos o volume de um cilindro e um cone que tem o mesmo tamanho de base e altura, o volume do cone é exatamente 1/3 a do cilindro. Isso significa que se os cones de sorvete viessem em cilindros e não cones, você obteria três vezes mais sorvete. Yay!

Poliedros

Agora que examinamos os sólidos geométricos não poliedros, é hora de dar uma olhada nos sólidos poliedros. UMA poliedro é um sólido geométrico que tem faces planas, ou polígonos, que são figuras 2D com pelo menos 3 lados retos e ângulos. Em grego, poli significa "muitos" e hedron significa "rosto".

Os principais tipos de poliedros são:

  • Cubóides e cubos
  • Sólidos platônicos
  • Prismas
  • Pirâmides

Cubóides e cubos

Cuboids são objetos em forma de caixa que têm 6 faces planas, e todos os seus ângulos estão corretos, ou 90 ° ângulos. Cuboids têm um comprimento, uma largura, e um altura. Quando todos os três (comprimento, largura e altura) são iguais, um cuboide é chamado de cubo e cada uma de suas faces é um quadrado. Um cubo tem 6 faces, 8 vértices e 12 arestas.

Determinamos o volume de um cubóide por:
V = comprimento * largura * altura
Então, para uma caixa com um comprimento de 10 polegadas, uma largura de 4 polegadas, e uma altura de 5 polegadas:
V = 10 * 4 * 5
V =
200 polegadas cúbicas.
É bom saber se você deseja enviar um pacote.

A área de superfície de um cubóide é determinada por:
A = 2 * largura * comprimento + 2 * comprimento * altura + 2 * altura * largura
Para a caixa com um comprimento de 10 polegadas, uma largura de 4 polegadas, e uma altura de 5 polegadas:
A = 2 * 4 * 10 + 2 * 10 * 5 + 2 * 5 * 4
A = 220 polegadas quadradas
.
Também é bom saber se você quer embrulhar uma caixa.

Os sólidos platônicos

Nomeado em homenagem ao antigo filósofo grego Platão, essas são formas 3D em que cada rosto é um polígono regular, ou seja, um polígono cujos lados têm todos o mesmo comprimento. Além disso, um sólido platônico deve ter o mesmo número de polígonos que se encontram em cada vértice, ou canto. Isso significa que o cubo que acabamos de conhecer é um sólido platônico, porque cada uma de suas faces é um quadrado do mesmo tamanho, e 3 quadrados encontrar em cada um de seus vértices ..

Tetraedro

Outro sólido platônico é o tetraedro, também conhecido como pirâmide triangular. É composto por 4 faces triangulares, 6 bordas retas e 4 vértices. É o único sólido platônico que não tem faces paralelas e é o mais simples de todos os sólidos platônicos.

Quando um tetraedro tem todas as faces do mesmo tamanho e forma, é um Tetraedro regular, caso contrário, é um Tetraedro Irregular.

O volume de um tetraedro é determinado por:
V = √2 / 12 * (comprimento da borda)3
Para um tetraedro com um comprimento de borda de 4 polegadas
V = 1,414 / 12 * 64
V 7,54 polegadas cúbicas
.

A área de superfície de um tetraedro pode ser encontrada por:
A = √3 * (comprimento da borda)2
então, para nosso tetraedro tendo um comprimento de borda de 4, sua área de superfície seria:
A = 1,732 * 16
A = ≈ 27,71 polegadas quadradas
.

Octaedro

Um octaedro é como duas pirâmides quadradas conectadas em suas bases. Tem 4 triângulos que se encontram em cada vértice, 8rostos, 6vértices e 12 arestas.

Podemos calcular o volume de um octaedro:
V = (√2) / 3 * (comprimento da borda)3
Para um octaedro com um comprimento de borda de 4 polegadas, seu volume seria:
V = 1,414 / 3 * 64
V ≈ 30,17 polegadas cúbicas
.

A área da superfície de um octaedro é:
A = 2 * √3 * (comprimento da borda)2
A = 2 * 1,732 * 16
A ≈ 55,42 polegadas quadradas
.

Dodecaedro

Este sólido platônico é formado quando 3 pentágonos (5 lados polígonos) se encontram em cada vértice, tem 12 faces, 20 vértices e 30 arestas. Um dodecaedro recebe o nome do grego dodeca, o que significa 12.

O volume de um dodecaedro é:
V = (15 + 7 * √5) / 4 * (comprimento da borda)3
Para um Dodecaedro com um comprimento de borda de 4 polegadas, seu volume seria:
V = (15 + 7 * 2,236) / 4 * 64
V ≈ 490,43 polegadas cúbicas
.

A fórmula para encontrar a área de superfície de um dodecaedro é:
A = 3 * √ (25 + 10 * √5) * (Comprimento da borda)2
A = 3 (25 + 22,36) * 16
A ≈ 330,33 polegadas quadradas
.

Icosaedro

O mais complexo dos sólidos platônicos, em cada um de seus vértices, 5 trangles encontrar, o Icosaedro tem 20 faces cada um dos quais é um triângulo equilátero (um triângulo tendo 3 iguais lados e 3 iguais ângulos de 60°), 12 vértices e 30 arestas.

O Icosaedro pode ser familiar para você por jogar jogos que usam dados de 20 lados, e a mãe natureza aparentemente também gosta dessa forma, porque a casca externa do vírus do papiloma humano é um Icosaedro.

O volume de um Icosaedro é determinado pela fórmula:
V = 5 * (3 + √5) / 12 * (Comprimento da borda)3
então, para um Icosaedro com um comprimento de borda de 4 polegadas, seu volume seria:
V = 5 (5,236) / 12 * 64
V ≈ 139,63 polegadas cúbicas
.

A fórmula para calcular a área de superfície de um Icosaedro é:
A = 5 * √3 * (comprimento da borda)2
A ≈ 138,56 polegadas quadradas
.

Prismas

Um prisma é um sólido geométrico com extremidades idênticas, faces planas e a mesma seção transversal ao longo de seu comprimento. As duas extremidades de um prisim são chamadas de bases, e as faces de um prisma são todas paralelogramos (uma figura 2D cujos lados opostos são paralelos e iguais, e cujos ângulos opostos são iguais).

Por essa definição, o cuboide e os cubos que encontramos acima são prismas, mas você também pode ter prismas triangulares, pentagonais e hexagonais, cujas seções transversais são um triângulo, pentágono e hexágono, respectivamente.

As seções transversais de Prismas regulares têm comprimentos de borda iguais e ângulos iguais, enquanto as seções transversais de Prismas Irregulares têm comprimentos de borda desiguais e ângulos desiguais.

Se as bases de um prisma estão alinhadas entre si, o prisma é considerado um Prisma Direito, se as bases não estiverem alinhadas uma com a outra, é considerado um Prisma Oblíquo.

Podemos determinar o volume de um prisma por:
Volume = Área de Base * Comprimento
Para um prisma triangular com uma área de base de 25 polegadas quadradas e um comprimento de 10 polegadas, seu volume seria:
V = 25 pol² * 10 pol.
V = 250 polegadas cúbicas.

Podemos encontrar a área da superfície de um prisma triangular:
2 * Área da Base + Perímetro da Base * Comprimento
Se usarmos o exemplo acima, nosso prisma triangular tem uma área de base de 25 polegadas quadradas, um comprimento de 10 polegadas, e um perímetro de base de 24 polegadas:
A = 2 * 25 polegadas quadradas + 24 polegadas * 10 polegadas
A = 290 polegadas quadradas

Pirâmides

Uma pirâmide é definida por ter uma base que é um polígono, um vértice e faces que são triângulos. As famosas pirâmides do planalto de Gizé, no Egito, são na verdade Pirâmides Quadradas porque suas bases são um quadrado. Você também pode ter uma pirâmide com uma base triangular chamada de Pirâmide Triangular e uma pirâmide com um pentágono como sua base chamada de Pirâmide Pentagonal.

Se o ápice de uma pirâmide está diretamente sobre o centro de sua base, diz-se que é um Pirâmide Direita. Se o vértice não estiver sobre o centro da base, é considerado um Pirâmide Oblíqua.

O volume de uma pirâmide é determinado por:
V = 1/3 * Área de Base * altura
Vamos determinar o volume da Pirâmide de Khufu, a maior das três pirâmides do planalto de Gizé. O comprimento de cada lado de sua base é 756 pés ou 230,34 metros. Portanto, sua área de base é 571,536pés quadrados ou 53,056.5metros quadrados. A altura da Grande Pirâmide é 455 pés ou 138,7 metros, portanto, o volume da Grande Pirâmide é:
V = 1/3 * 571.536 pés quadrados * 455 pés
V = 86.682.960 pés cúbicos

Isso é muito espaço para o Faraó Khufu, que está enterrado na pirâmide.

A área de superfície de uma pirâmide tem duas partes: o Área de Base e a Área Lateral. Para uma pirâmide irregular, você deve somar a área de cada uma de suas faces triangulares para encontrar sua área de superfície, mas para uma pirâmide regular, podemos encontrar a área lateral por:
A = (perímetro * comprimento inclinado) / 2
Para a Grande Pirâmide, cujo comprimento da base é 756 pés, seu perímetro é 3.024 pés e seu comprimento inclinado é 612 pés ou 186,42 metros. Portanto, a Área da Superfície Lateral da Grande Pirâmide é:
A = (3.024 * 612) / 2
qual é 925.344 pés quadrados.

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